數學常數π的探究簡史和軼聞趣事
2021-08-23 14:05 作者：楊蓉 來源：瑞士日內瓦大學 閱覽：
最近，瑞士格勞賓登應用科學大學的研究人員藉助超級計算機，歷時108天，將數學常數π的最精確值計算到了小數點後62.8萬億位，創下π計算位數新紀錄。他們只透露了計算結果的最後10個數字：7817924264，目前正等待吉尼斯世界紀錄認證。
圓可能是自然界中最常見的圖形了。人們很早就注意到，圓的周長與直徑之比是個常數，這個常數就是圓周率，用希臘字母π（漢語發音：pai）來表示，它無限不循環，是一個無理數；另外，π也等於圓形之面積與半徑平方之比，是精確計算圓面積、球體積等幾何形狀的關鍵數值。在分析學里，π可以嚴格地定義為滿足sinx=0的最小正實數x。π是數學史上最令人著迷的數字之一，千百年來吸引著眾多的數學家和無數的業餘數學愛好者對它進行探索和研究。
關於π最早的文字記載來自西元前2000年前後的古巴比倫人，他們認為π=3.125，而古埃及人使用π=3.1605。到了西元前3世紀，古希臘數學家阿基米德第一個給出了計算π的科學方法：圓內接（或外切）正多邊形的周長是可以精確計算的，而隨著正多邊形邊數的增加，會越來越接近圓，那麼多邊形的周長也會越來越接近圓周長；他一直加到了96邊形，計算出圓周率在3.1408和3.1428之間。
無獨有偶，中國三國時期的數學家劉徽，在對《九章算術》作注時，在西元264年給出了類似的算法，並稱其為「割圓術」；他首先從圓內接六邊形開始割圓，每次邊數倍增，算到192邊形的面積，得到π=157/50=3.14，又算到3072邊形的面積，得到π=3927/1250=3.1416；後來人們為紀念他的成就稱此率為「徽率」。劉徽這種讓內接正多邊形邊數逐倍增加，邊數越多，就越和圓周貼近的思想，在當時條件下是非常不簡單的。
約西元480年，中國南北朝時期的數學家、天文學家祖沖之按照劉徽的割圓術之法，算出了3.1415926<π<3.1415927，這個π值已經準確到7位小數，創造了當時π計算的世界紀錄；他還給出π的兩個分數形式：22/7（約率）和355/113（密率）。為了紀念祖沖之的傑出貢獻，有些外國數學史家建議把π叫做「祖率」。但令人吃驚的是，竟然有人質疑劉徽和祖沖之是否計算過圓周率；其實這是一種無知的表現。事實上，劉、祖二位在計算圓周率方面做過大量的工作，在國內外教科書及文獻中都有記載和描述。
17世紀之前，計算圓周率基本上都是採用割圓術，德國數學家魯道夫•范•科伊倫花費大半生時間，計算了正262邊形的周長，於1610年將π值計算到小數點後35位，是當時世界上最精確的圓周率數值；德國人因此將圓周率稱為「魯道夫數」。關於π值的研究，革命性的變革出現在17世紀發明微積分時，微積分和冪級數展開的結合導致了用無窮級數來計算π值的分析方法，這就拋開了計算繁雜的割圓術。那些微積分的先驅如帕斯卡、牛頓、萊布尼茨等都對π值的計算做出了貢獻。
1706年，英國數學家威廉•瓊斯最先使用π來表示圓周率，但它未被立刻採用；後來瑞士數學家萊昂哈德•歐拉於1737年予以提倡，π才被推廣開來。瑞士數學家約翰•海因里希•蘭伯特於1761年證明了π是一個無理數，即不可表達成兩個整數之比。1882年，德國數學家費迪南德•馮•林德曼更證明了π是一個超越數，即π不可能是任何整係數多項式的根。
進入了電子計算機時代，人們推算π的效率和方法都發生了質變。世界上的第一臺通用計算機ENIAC，在1950年的時候就算至小數點後的2037位數，在數學界造成了極大的轟動。1973年算至100萬位，1983年算至1000萬位，1987年算至1億位，2002年算至1萬億位，到2011年，已算至10萬億位。2019年，美國谷歌雲計算系統將圓周率的數值計算到小數點後31萬億位。2020年，美國計算機專家蒂莫西•穆利肯使用個人計算機，將數值計算到小數點後50萬億位，耗時303天。
在數學史上，從沒有對一個常數有過如此狂熱的數值計算競賽。中國數學家、未來學家周海中在1988年5月舉行的「數學常數π與e」學術講座中預言：數學常數π的數值計算競賽會持續升溫，這種競賽有助於人們探究能力的培養和提高；對於今後從事科研工作，有著重要意義和推動作用。他的這一預言如今已經變成了現實。不過，π有10位小數就足以滿足幾乎所有的實際計算需要，在日常生活中一般取π小數點後4位（即π=3.1416）就足夠了。
為了紀念π（可轉寫成英語單詞pi，而英語讀pi聽起來像「派」），美國麻省理工學院首先倡議將3日14日定為「圓周率日」（Pi Day）。2009年，美國眾議院正式通過一項無約束力決議(HRES224)，將每年的3月14號設定為「國家圓周率日」（National Pi Day）。2011年，國際數學聯合會（IMU）為紀念祖沖之而將每年的3月14日設為「國際數學節」。有一個有趣的巧合，美籍德國猶太裔物理學家阿爾伯特•愛因斯坦出生於1879年3月14日的圓周率日，他還在圓周率日發表了他的廣義相對論。
為表慶祝，美國谷歌公司在2010年3月14日推出了π的「谷歌塗鴉」（Google Doodle），圖中元素頗豐，不僅包含了π的定義、π值範圍、圓周周長與面積公式，甚至還包含了球體積公式以及圓周的外切和內切多邊形示意圖。另外，π還進入一些電影片名中，如1998年由達倫•阿羅諾夫斯基執導的《圓周率》(π)、2012年由李安執導的《派的生活》(Life of π)等，可見π的影響力之大。
有趣的是，近年來人們在3月14日這一天一起吃派（面點類食品），喝一種名字中含有「pi」的雞尾酒（piña colada），玩和pi發音相近的彩罐遊戲（piñata）。更有趣的是，為慶祝一年一度的圓周率日，全球大型跨國連鎖餐廳麥當勞決定：從2018年3月10日至14日，用3元人民幣就能在中國大陸的部分麥當勞門店買任意口味派，還舉辦了「派Day數學能力考試」。
值得一提的是，π除了具有數學魅力外，還成為人們表現記憶力的一種方式。例如，中國西北農林科技大學學生呂超在2005年花費24小時零4分鐘，毫無錯誤地背誦到了π小數點後67890位，從而一舉創下了一項背誦圓周率最多位數的吉尼斯紀錄。不過，烏克蘭38歲的醫學博士安德烈•斯柳薩楚克於2009年宣稱他能將π記憶到小數點後3000萬位，他因此被稱作「π博士」，還受到過烏克蘭前總統維克多•尤先科的祝賀和接見。
由於在數學中，半徑的概念似乎比直徑更加深入人心，一些數學家也早已注意到了把π定義為圓的周長和直徑之比有所不便，所以曾在論文中正式地提出這一點；他們認為應該讓另一希臘字母τ（漢語發音：tau）取代π成為圓的重要常數。但也有數學家表示反對，雙方的爭論頗為激烈。不管最終的結果如何，有一點是可以肯定的，那就是人們對圓周率的探究還會繼續下去，永不停息。
文/楊蓉（作者單位：瑞士日內瓦大學科學系）
圓可能是自然界中最常見的圖形了。人們很早就注意到，圓的周長與直徑之比是個常數，這個常數就是圓周率，用希臘字母π（漢語發音：pai）來表示，它無限不循環，是一個無理數；另外，π也等於圓形之面積與半徑平方之比，是精確計算圓面積、球體積等幾何形狀的關鍵數值。在分析學里，π可以嚴格地定義為滿足sinx=0的最小正實數x。π是數學史上最令人著迷的數字之一，千百年來吸引著眾多的數學家和無數的業餘數學愛好者對它進行探索和研究。
關於π最早的文字記載來自西元前2000年前後的古巴比倫人，他們認為π=3.125，而古埃及人使用π=3.1605。到了西元前3世紀，古希臘數學家阿基米德第一個給出了計算π的科學方法：圓內接（或外切）正多邊形的周長是可以精確計算的，而隨著正多邊形邊數的增加，會越來越接近圓，那麼多邊形的周長也會越來越接近圓周長；他一直加到了96邊形，計算出圓周率在3.1408和3.1428之間。
無獨有偶，中國三國時期的數學家劉徽，在對《九章算術》作注時，在西元264年給出了類似的算法，並稱其為「割圓術」；他首先從圓內接六邊形開始割圓，每次邊數倍增，算到192邊形的面積，得到π=157/50=3.14，又算到3072邊形的面積，得到π=3927/1250=3.1416；後來人們為紀念他的成就稱此率為「徽率」。劉徽這種讓內接正多邊形邊數逐倍增加，邊數越多，就越和圓周貼近的思想，在當時條件下是非常不簡單的。
約西元480年，中國南北朝時期的數學家、天文學家祖沖之按照劉徽的割圓術之法，算出了3.1415926<π<3.1415927，這個π值已經準確到7位小數，創造了當時π計算的世界紀錄；他還給出π的兩個分數形式：22/7（約率）和355/113（密率）。為了紀念祖沖之的傑出貢獻，有些外國數學史家建議把π叫做「祖率」。但令人吃驚的是，竟然有人質疑劉徽和祖沖之是否計算過圓周率；其實這是一種無知的表現。事實上，劉、祖二位在計算圓周率方面做過大量的工作，在國內外教科書及文獻中都有記載和描述。
17世紀之前，計算圓周率基本上都是採用割圓術，德國數學家魯道夫•范•科伊倫花費大半生時間，計算了正262邊形的周長，於1610年將π值計算到小數點後35位，是當時世界上最精確的圓周率數值；德國人因此將圓周率稱為「魯道夫數」。關於π值的研究，革命性的變革出現在17世紀發明微積分時，微積分和冪級數展開的結合導致了用無窮級數來計算π值的分析方法，這就拋開了計算繁雜的割圓術。那些微積分的先驅如帕斯卡、牛頓、萊布尼茨等都對π值的計算做出了貢獻。
1706年，英國數學家威廉•瓊斯最先使用π來表示圓周率，但它未被立刻採用；後來瑞士數學家萊昂哈德•歐拉於1737年予以提倡，π才被推廣開來。瑞士數學家約翰•海因里希•蘭伯特於1761年證明了π是一個無理數，即不可表達成兩個整數之比。1882年，德國數學家費迪南德•馮•林德曼更證明了π是一個超越數，即π不可能是任何整係數多項式的根。
進入了電子計算機時代，人們推算π的效率和方法都發生了質變。世界上的第一臺通用計算機ENIAC，在1950年的時候就算至小數點後的2037位數，在數學界造成了極大的轟動。1973年算至100萬位，1983年算至1000萬位，1987年算至1億位，2002年算至1萬億位，到2011年，已算至10萬億位。2019年，美國谷歌雲計算系統將圓周率的數值計算到小數點後31萬億位。2020年，美國計算機專家蒂莫西•穆利肯使用個人計算機，將數值計算到小數點後50萬億位，耗時303天。
在數學史上，從沒有對一個常數有過如此狂熱的數值計算競賽。中國數學家、未來學家周海中在1988年5月舉行的「數學常數π與e」學術講座中預言：數學常數π的數值計算競賽會持續升溫，這種競賽有助於人們探究能力的培養和提高；對於今後從事科研工作，有著重要意義和推動作用。他的這一預言如今已經變成了現實。不過，π有10位小數就足以滿足幾乎所有的實際計算需要，在日常生活中一般取π小數點後4位（即π=3.1416）就足夠了。
為了紀念π（可轉寫成英語單詞pi，而英語讀pi聽起來像「派」），美國麻省理工學院首先倡議將3日14日定為「圓周率日」（Pi Day）。2009年，美國眾議院正式通過一項無約束力決議(HRES224)，將每年的3月14號設定為「國家圓周率日」（National Pi Day）。2011年，國際數學聯合會（IMU）為紀念祖沖之而將每年的3月14日設為「國際數學節」。有一個有趣的巧合，美籍德國猶太裔物理學家阿爾伯特•愛因斯坦出生於1879年3月14日的圓周率日，他還在圓周率日發表了他的廣義相對論。
為表慶祝，美國谷歌公司在2010年3月14日推出了π的「谷歌塗鴉」（Google Doodle），圖中元素頗豐，不僅包含了π的定義、π值範圍、圓周周長與面積公式，甚至還包含了球體積公式以及圓周的外切和內切多邊形示意圖。另外，π還進入一些電影片名中，如1998年由達倫•阿羅諾夫斯基執導的《圓周率》(π)、2012年由李安執導的《派的生活》(Life of π)等，可見π的影響力之大。
有趣的是，近年來人們在3月14日這一天一起吃派（面點類食品），喝一種名字中含有「pi」的雞尾酒（piña colada），玩和pi發音相近的彩罐遊戲（piñata）。更有趣的是，為慶祝一年一度的圓周率日，全球大型跨國連鎖餐廳麥當勞決定：從2018年3月10日至14日，用3元人民幣就能在中國大陸的部分麥當勞門店買任意口味派，還舉辦了「派Day數學能力考試」。
值得一提的是，π除了具有數學魅力外，還成為人們表現記憶力的一種方式。例如，中國西北農林科技大學學生呂超在2005年花費24小時零4分鐘，毫無錯誤地背誦到了π小數點後67890位，從而一舉創下了一項背誦圓周率最多位數的吉尼斯紀錄。不過，烏克蘭38歲的醫學博士安德烈•斯柳薩楚克於2009年宣稱他能將π記憶到小數點後3000萬位，他因此被稱作「π博士」，還受到過烏克蘭前總統維克多•尤先科的祝賀和接見。
由於在數學中，半徑的概念似乎比直徑更加深入人心，一些數學家也早已注意到了把π定義為圓的周長和直徑之比有所不便，所以曾在論文中正式地提出這一點；他們認為應該讓另一希臘字母τ（漢語發音：tau）取代π成為圓的重要常數。但也有數學家表示反對，雙方的爭論頗為激烈。不管最終的結果如何，有一點是可以肯定的，那就是人們對圓周率的探究還會繼續下去，永不停息。
文/楊蓉（作者單位：瑞士日內瓦大學科學系）
