人类文明的瑰宝：回文数和回文诗
2021-08-27 17:56 作者：夏薇、任茜 來源：澳门大学科技学院、南昌大学人文学院 閱覽：
回文数是数学研究的课题，而回文诗却是文学研究的课题。回文数和回文诗虽然是数学和文学不同的学科领域，但是它们的结构真是如出一辙，都具有典型的对称美；它们来自生活，又高于生活，是人类文明的瑰宝。本文将简要介绍一下回文数和回文诗。
一、回文数
一个正整数如果顺着和反过来都是一样的，就称为回文数（英文Plalindrome Numbers）。该数有无穷多个，它有许多神奇的性质和无数的猜想需要人们去探究。
设N是一任意正整数，若将N的各位数字反向排列所得正整数Na与N相等，则称N为一回文数。例如，若N=11，则称N为回文数；但若N=12，则称正整数N不是回文数。
两个相同位数的回文数相加，如果不发生进位情况，那么其和仍是一个回文数。两个相同位数的回文数相减，如果不发生进位情况，那么其差是一个回文数。例如，56365+12621=68986和5775-2222=3553。
有趣的是，某些回文数在相加时即使要发生“进位”，但其和数却依然是个回文数。例如，3333+8888=12221。科普作家谈祥柏在《数：上帝的宠物》一书中指出：这样的回文数模式是aa…a（共N个a）与bb…b（共N个b ），而且a与b应满足关系式a+b=11，以及1<a，b<10。
围绕着对回文数的研究，数学家们发现，有的数隐藏在其他数里，经过特殊变换后才露出真容。例如，83不是回文数，将它与其倒数相加，83+38=121，就变成了回文数。经过多次验算，他们提出了一个猜想：任取一个正整数，把它倒过来与原数相加，一直重复这个运算，最后总能得到一个回文数。数学界把这个猜想叫做“回文数猜想”。
是不是所有的数经过上述运算都能产生回文数？也就是说，回文数猜想是对的还是错的？这个问题至今没有解决。人们对大量的自然数进行了这样的计算，都得到了回文数。可是，偏偏有一个数很不一般，这个数就是196；如果真的是这样，那么回文数猜想就是错误的。让我们试试看：
196+691=887、887+788=1675、1675+5761=7436、7436+6347=13783、13783+38731=52514、52514+41525=94039、94039+93049=187088、187088+880781=1067869、1067869+9687601=10755470、10755470+07455701=18211171，上述步骤重复进行了10次，还没有结果，果然非同寻常。美国数学家德里克•莱默（1905-1991）在1938年计算到了第73步，得到了一个没有形成“回文数”的35位的合数。
至今挑战此题的数学家和数学爱好者从没有间断过，并随着计算机的发展，不断有发烧友编写不同的程序对它发起挑战。有人用计算机把这个步骤重复进行了数十万次，也没有得到回文数，并且，也没有发现循环的迹象，所以还无法判断继续进行下去，究竟能不能得到一个回文数。
数学家们对既是素数又是回文数的数进行了特别的研究，一方面想看看这些数有什么特性或规律，另一方面也想从中找出证明回文数猜想的蛛丝马迹。通过研究，他们发现了一些有特殊性质的回文素数。比如19391，把它的5个数字写在一个圆周上，从其中任一个数开始，不管是顺时针写还是逆时针写，写出来的5位数都是素数。
回文素数除了11以外，其余的位数都是奇数。因为4位及4位以上的偶数位的回文数都可以被11整除，故不存在偶数位的回文素数。最初几个回文素数是11、101、131、151、181、191、313、353等；人们发现，两位回文素数1个，3位回文素数15个，5位回文素数93个，7位回文素数668个，9位回文素数5172个。
人们还借助计算机发现，在完全平方数、完全立方数和完全四次方数中的回文数，其比例要比一般正整数中回文素数所占的比例大得多，如121=11^2、14641=121^2、40804=202^2、343=7^3、1331=11^3、1030301=101^3等都是回文数。
回文素数是否有无穷多个，也是个尚未解决的公开问题。根据在线整数序列百科全书OEIS编号A050251发布的最新结果，已经知道小于1023的回文素数个数有22170468927个。回文素数具有许多奇妙的性质和现象，真是让人叹为观止！
二、回文诗
回文诗（英文Plalindrome Poems）是一种雅趣横生、妙不可言的诗体。它从头至尾往复回环，读之成韵，顺读倒读，回旋反复的诗更多（下面以中文诗歌为例）。
回文诗具有其他诗体不能具有的独特的结构特点，它有多种形式，如“通体回文”“就句回文”“双句回文”“本篇回文”“环复回文”等。其中，尤以“通体回文”最难驾驭，有人把这种形式的回文诗称作“倒读诗”，认为它是回文诗中的绝品。
由于回文诗独特的结构，创作的难度可见一般，它的魅力更是其他诗词无法比拟的。例如宋代大文豪苏轼（1037-1101）的《题金山寺》：
潮随暗浪雪山倾，远捕渔舟钓月明。
桥对寺门松径小，槛当泉眼石波清。
迢迢绿树江天晓，霭霭红霞晚日晴。
遥望四边云接水，碧峰千点数鸥轻。
把它倒转来读也是一首完整的七言律诗：
轻鸥数点千峰碧，水接云边四望遥。
晴日晚霞红霭霭，晓天江树绿迢迢。
清波石眼泉当槛，小径松门寺对桥。
明月钓舟渔捕远，倾山雪浪暗随潮。
这是一首内容与形式俱佳的“通体回文”诗，生动传神地写出了镇江金山寺月夜泛舟和江天破晓两种景致。顺读、倒读意境不同，可作为两首诗来赏析，如果顺读是月夜景色到江天破晓的话，那么倒读则是黎明晓日到渔舟唱晚，新意翩来、换了人间。
回文诗中，最为出名的要数清代女诗人吴绛雪（1650-1674）的《咏四季诗》。该诗为：《春》诗：莺啼岸柳弄春晴夜月明；《夏》诗：香莲碧水动风凉夏日长；《秋》诗：秋江楚雁宿沙洲浅水流；《冬》诗：红炉透炭炙寒风御隆冬。它可以派生出四首七言诗：
《春》
莺啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明。
明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼莺。
《夏》
香莲碧水动风凉，水动风凉日月长。
长月日凉风动水，凉风动水碧莲香。
《秋》
秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流。
流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋。
《冬》
红炉透炭炙寒风，炭炙寒风御隆冬。
冬隆御风寒炙炭，风寒炙炭透炉红。
它还可以派生出四首五言诗：
《春》
莺啼岸柳弄，春晴夜月明。
明月夜晴春，弄柳岸啼莺。
《夏》
香莲碧水动，风凉夏日长。
长日夏凉风，动水碧莲香。
《秋》
秋江楚雁宿，沙洲浅水流。
流水浅洲沙，宿雁楚江秋。
《冬》
红炉透炭炙，寒风御隆冬。
冬隆御风寒，炙炭透炉红。
这些由派生而来的回文诗，很有韵味，意境极佳；要说《咏四季诗》的魅力和影响力，如今湖南桃花源向路桥有《咏荷花池》诗碑，浙江温州雁荡山维摩洞、广西阳朔莲花岩、乃至湖北荆州花鼓戏《站花墙》，都引用了这首四季回文诗，可见此诗之妙之趣。
回文诗在创作手法上，突出地继承了诗反复咏叹的艺术特色，来达到其“言志述事”的目的，产生强烈的回环叠咏的艺术效果。有人曾经把回文诗当成一种文字游戏，认为它完全没有艺术价值；实际上，这是对回文诗的误解。
不过，具有妙趣横生和意境深邃的回文诗在当代已较为罕见；这与它难以创作有关，也与人们对它的认知有关。当代诗人周仪荣曾经指出，回文诗虽无十分重大的艺术价值，但不失为中国传统文化宝库中的一枝奇葩。我们认为，他的这一观点道出了回文诗的价值和意义所在。
虽然回文诗带有一定的文字游戏的性质，但它构思巧妙，手法独特，音韵和谐，字句凝练，整齐优美，妙趣横生，是中华诗苑中的绚丽奇葩。工作之余、茶余饭后，偶尔读几首回文诗，会令人情趣盎然和陶醉神往。读诗心闲，不妨一试！
文/夏薇、任茜(作者单位分别为澳门大学科技学院、南昌大学人文学院)
一、回文数
设N是一任意正整数，若将N的各位数字反向排列所得正整数Na与N相等，则称N为一回文数。例如，若N=11，则称N为回文数；但若N=12，则称正整数N不是回文数。
两个相同位数的回文数相加，如果不发生进位情况，那么其和仍是一个回文数。两个相同位数的回文数相减，如果不发生进位情况，那么其差是一个回文数。例如，56365+12621=68986和5775-2222=3553。
有趣的是，某些回文数在相加时即使要发生“进位”，但其和数却依然是个回文数。例如，3333+8888=12221。科普作家谈祥柏在《数：上帝的宠物》一书中指出：这样的回文数模式是aa…a（共N个a）与bb…b（共N个b ），而且a与b应满足关系式a+b=11，以及1<a，b<10。
围绕着对回文数的研究，数学家们发现，有的数隐藏在其他数里，经过特殊变换后才露出真容。例如，83不是回文数，将它与其倒数相加，83+38=121，就变成了回文数。经过多次验算，他们提出了一个猜想：任取一个正整数，把它倒过来与原数相加，一直重复这个运算，最后总能得到一个回文数。数学界把这个猜想叫做“回文数猜想”。
是不是所有的数经过上述运算都能产生回文数？也就是说，回文数猜想是对的还是错的？这个问题至今没有解决。人们对大量的自然数进行了这样的计算，都得到了回文数。可是，偏偏有一个数很不一般，这个数就是196；如果真的是这样，那么回文数猜想就是错误的。让我们试试看：
196+691=887、887+788=1675、1675+5761=7436、7436+6347=13783、13783+38731=52514、52514+41525=94039、94039+93049=187088、187088+880781=1067869、1067869+9687601=10755470、10755470+07455701=18211171，上述步骤重复进行了10次，还没有结果，果然非同寻常。美国数学家德里克•莱默（1905-1991）在1938年计算到了第73步，得到了一个没有形成“回文数”的35位的合数。
至今挑战此题的数学家和数学爱好者从没有间断过，并随着计算机的发展，不断有发烧友编写不同的程序对它发起挑战。有人用计算机把这个步骤重复进行了数十万次，也没有得到回文数，并且，也没有发现循环的迹象，所以还无法判断继续进行下去，究竟能不能得到一个回文数。
数学家们对既是素数又是回文数的数进行了特别的研究，一方面想看看这些数有什么特性或规律，另一方面也想从中找出证明回文数猜想的蛛丝马迹。通过研究，他们发现了一些有特殊性质的回文素数。比如19391，把它的5个数字写在一个圆周上，从其中任一个数开始，不管是顺时针写还是逆时针写，写出来的5位数都是素数。
回文素数除了11以外，其余的位数都是奇数。因为4位及4位以上的偶数位的回文数都可以被11整除，故不存在偶数位的回文素数。最初几个回文素数是11、101、131、151、181、191、313、353等；人们发现，两位回文素数1个，3位回文素数15个，5位回文素数93个，7位回文素数668个，9位回文素数5172个。
人们还借助计算机发现，在完全平方数、完全立方数和完全四次方数中的回文数，其比例要比一般正整数中回文素数所占的比例大得多，如121=11^2、14641=121^2、40804=202^2、343=7^3、1331=11^3、1030301=101^3等都是回文数。
回文素数是否有无穷多个，也是个尚未解决的公开问题。根据在线整数序列百科全书OEIS编号A050251发布的最新结果，已经知道小于1023的回文素数个数有22170468927个。回文素数具有许多奇妙的性质和现象，真是让人叹为观止！
二、回文诗
回文诗具有其他诗体不能具有的独特的结构特点，它有多种形式，如“通体回文”“就句回文”“双句回文”“本篇回文”“环复回文”等。其中，尤以“通体回文”最难驾驭，有人把这种形式的回文诗称作“倒读诗”，认为它是回文诗中的绝品。
由于回文诗独特的结构，创作的难度可见一般，它的魅力更是其他诗词无法比拟的。例如宋代大文豪苏轼（1037-1101）的《题金山寺》：
潮随暗浪雪山倾，远捕渔舟钓月明。
桥对寺门松径小，槛当泉眼石波清。
迢迢绿树江天晓，霭霭红霞晚日晴。
遥望四边云接水，碧峰千点数鸥轻。
把它倒转来读也是一首完整的七言律诗：
轻鸥数点千峰碧，水接云边四望遥。
晴日晚霞红霭霭，晓天江树绿迢迢。
清波石眼泉当槛，小径松门寺对桥。
明月钓舟渔捕远，倾山雪浪暗随潮。
这是一首内容与形式俱佳的“通体回文”诗，生动传神地写出了镇江金山寺月夜泛舟和江天破晓两种景致。顺读、倒读意境不同，可作为两首诗来赏析，如果顺读是月夜景色到江天破晓的话，那么倒读则是黎明晓日到渔舟唱晚，新意翩来、换了人间。
回文诗中，最为出名的要数清代女诗人吴绛雪（1650-1674）的《咏四季诗》。该诗为：《春》诗：莺啼岸柳弄春晴夜月明；《夏》诗：香莲碧水动风凉夏日长；《秋》诗：秋江楚雁宿沙洲浅水流；《冬》诗：红炉透炭炙寒风御隆冬。它可以派生出四首七言诗：
《春》
莺啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明。
明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼莺。
《夏》
香莲碧水动风凉，水动风凉日月长。
长月日凉风动水，凉风动水碧莲香。
《秋》
秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流。
流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋。
《冬》
红炉透炭炙寒风，炭炙寒风御隆冬。
冬隆御风寒炙炭，风寒炙炭透炉红。
它还可以派生出四首五言诗：
《春》
莺啼岸柳弄，春晴夜月明。
明月夜晴春，弄柳岸啼莺。
《夏》
香莲碧水动，风凉夏日长。
长日夏凉风，动水碧莲香。
《秋》
秋江楚雁宿，沙洲浅水流。
流水浅洲沙，宿雁楚江秋。
《冬》
红炉透炭炙，寒风御隆冬。
冬隆御风寒，炙炭透炉红。
这些由派生而来的回文诗，很有韵味，意境极佳；要说《咏四季诗》的魅力和影响力，如今湖南桃花源向路桥有《咏荷花池》诗碑，浙江温州雁荡山维摩洞、广西阳朔莲花岩、乃至湖北荆州花鼓戏《站花墙》，都引用了这首四季回文诗，可见此诗之妙之趣。
回文诗在创作手法上，突出地继承了诗反复咏叹的艺术特色，来达到其“言志述事”的目的，产生强烈的回环叠咏的艺术效果。有人曾经把回文诗当成一种文字游戏，认为它完全没有艺术价值；实际上，这是对回文诗的误解。
不过，具有妙趣横生和意境深邃的回文诗在当代已较为罕见；这与它难以创作有关，也与人们对它的认知有关。当代诗人周仪荣曾经指出，回文诗虽无十分重大的艺术价值，但不失为中国传统文化宝库中的一枝奇葩。我们认为，他的这一观点道出了回文诗的价值和意义所在。
虽然回文诗带有一定的文字游戏的性质，但它构思巧妙，手法独特，音韵和谐，字句凝练，整齐优美，妙趣横生，是中华诗苑中的绚丽奇葩。工作之余、茶余饭后，偶尔读几首回文诗，会令人情趣盎然和陶醉神往。读诗心闲，不妨一试！
文/夏薇、任茜(作者单位分别为澳门大学科技学院、南昌大学人文学院)
