偶完美數與梅森素數（圖片源自網路）
無論在外在的物質世界里，還是在內在的精神世界里，都不能沒有數學。最早悟出萬物背後都有數的法則在起作用的，是生活在西元前6世紀的古希臘數學家、哲學家畢達哥拉斯；而他及其學派無論在代數上還是幾何上都有很多貢獻。其中舉世聞名的「完美數」(Perfect Number，又稱「完全數」「完備數」或「完滿數」)就是他們首先發現的。
所謂完美數，是一種特殊的自然數；它所有的真因子(即除了自身以外的約數)的和，恰好等於它本身。例如6是第一個完美數，也是最小的完美數；它有約數1、2、3、6，除去它本身6外，其餘3個數相加，1+2+3=6。第二個完美數是28，它有約數1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其餘5個數相加，1+2+4+7+14=28。
西元前3世紀，古希臘數學家歐幾里得在其名著《幾何原本》中首次給出了尋找完美數的方法，被數學界譽為歐幾里得定理：如果2^P-1是素數(其中指數P也是素數),則2^(P-1)(2^P-1)是完美數。法國哲學家、數學家、物理學家勒內·笛卡爾曾經公開預言：「能找出完美數是不會多的，好比人類一樣，要找一個完人亦非易事。」歷史證實了他的預言。2600多年來，人們歷盡艱辛，一共才找到51個完美數。因此,完美數在學界有「數海明珠」之稱。
完美數（圖片源自網路）
完美數2^(P-1)(2^P-1)中的素數部分2^P-1被稱為「梅森素數」(Mersenne Prime)，因為17世紀法國數學家馬林·梅森（Marin Mersenne）對這種特殊素數做過系統而深入的探究以及他對科學做出的傑出貢獻，數學界在1897年瑞士蘇黎世舉行的首屆國際數學家大會(ICM)上就將2^P-1型素數以他姓氏命名。
由於梅森素數具有獨特美妙的數學性質，許多著名數學家包括費馬、萊布尼茨、哥德巴赫、歐拉、高斯、哈代、圖靈，以及無數數學愛好者對它情有獨鍾。梅森素數珍奇而迷人，因而被人們譽為「數學寶山上的鑽石」；它是數論研究的一項重要內容，也是當今科學探索的熱點和難點之一。
梅森素數（圖片源自網路）
1730年,被稱為「世界四大數學家雄獅」之一的瑞士數學家、自然科學家萊昂哈德·歐拉，時年23歲,正值風華茂盛。他出手不凡，給出了一個出色的定理：每一個偶完美數都是形如2^(P-1)(2^P-1)的自然數,其中2^P-1是素數。這是歐幾里得定理的逆定理。有了歐幾里得和歐拉兩個互逆定理,公式2^(P-1)(2^P-1)就成為判斷一個偶數是不是完美數的充要條件了。
自古希臘時代直至17世紀，人們尋找梅森素數的意義似乎只是為了尋找完美數。但自梅森探究2^P-1型素數以來，特別是歐拉證明瞭歐幾里得關於完美數定理的逆定理以來，偶完美數已僅僅是梅森素數的一種「副產品」了。因此,人們只要找到梅森素數,就可以找到與其對應的偶完美數了。至於奇完美數，至今還不知道是否存在；若有奇完美數，它必須大於10^300。
梅森素數貌似簡單，但探究難度卻很大；當指數P值較大時，不僅需要高深的理論和純熟的技巧，而且還需要進行艱巨的計算。1772年，歐拉在雙目失明的情況下，靠心算證明瞭2^31-1(即2147483647)是第8個梅森素數。這個具有10位的素數，堪稱當時世界上已知的最大素數。歐拉的毅力與技巧都令人讚嘆不已，難怪法國大數學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯向他的學生們說：「讀讀歐拉，他是我們每一個人的老師。」
在「手算筆錄」的年代，人們歷盡艱辛，僅找到12個梅森素數。而電子計算機的產生加速了梅森素數探究進程。1952年，美國數學家拉婓爾·魯濱遜等人使用SWAC型計算機在短短的幾個月內，就找到了5個梅森素數：2^521-1、2^607-1、2^1279-1、2^2203-1和2^2281-1。
網格(Grid)這一嶄新技術的出現使梅森素數的探究如虎添翼。1996年初，美國數學家、程式設計師喬治·沃特曼編制了一個梅森素數計算程式，並把它放在網頁上供數學家和業餘數學愛好者免費使用；這就是著名的「互聯網梅森素數大搜索」(GIMPS)項目，也是世界上第一個基於互聯網的網格計算項目。網格計算就是通過利用大量異構計算機(通常為桌面計算機)的未用資源，為解決大規模的計算問題提供一個新的模型。
為了激勵人們尋找梅森素數和促進網格計算髮展，總部設在美國舊金山的電子前沿基金會(EFF)於1999年設立了專項獎金懸賞梅森素數的發現者。它規定向第一個通過GIMPS項目找到超過100萬位數的個人或機構頒發5萬美元；後面的獎金依次為：超過1000萬位數，10萬美元；超過1億位數，15萬美元；超過10億位數，25萬美元。不過，絕大多數人參與GIMPS項目並不是為了金錢，而是出於好奇心、榮譽感和探索精神。
現在只要人們去GIMPS的主頁下載一個名為「Prime95」免費程式，就可以立即參加GIMPS項目來搜尋梅森素數了。目前，世界上有190多個國家和地區近23萬線上網民參與GIMPS項目，並動用了超過215萬核中央處理器(CPU)聯網來尋找梅森素數。另外，全球最大的網格計算平台——BOINC的參與者也可加入GIMPS項目。可見，梅森素數的探究非常火爆；這在數學史上前所未有，在科學史上也極為罕見。
前不久，來自美國佛羅里達州的互聯網專家、數學愛好者帕特里克·拉羅什利用GIMPS項目，成功發現第51個梅森素數——2^82589933-1；該數有24862048位，它是當今人類發現的最大素數。由此,人們也就知道2^82589932（2^82589933-1）是第51個偶完美數了。如果用普通字號將第51個梅森素數列印下來，其長度將超過100公里！
特別值得一提的是，在梅森素數的素性判斷方面，法國數學家愛德華·魯卡斯和美國數學家德里克·雷默都做出了重要貢獻；以他們命名的「魯卡斯-雷默方法」是目前已知的檢測梅森素數素性的最佳方法。在梅森素數分布研究方面，中國數學家、語言學家周海中給出了梅森素數分布的精確表達式；這一研究成果被國際上命名為「周氏猜測」。
梅森素數在當代具有重大的理論意義和豐富的實用價值。它的探究推動了「數學皇后」——數論的研究，促進了計算技術、密碼技術、程式設計技術的發展以及快速傅立葉變換的應用。順便一提的是，近百年來，人們發現的「最大素數」幾乎都是梅森素數；時至今日，人們依然不知道梅森素數是否有無窮多個。
此外，梅森素數常用來測試計算機硬體運算是否正確。例如前不久，德國一名GIMPS項目參與者發現：當Intel Skylake處理器在執行Prime95應用來搜索梅森素數時，運算到指數P=14942209就出現了觸發系統死機的Bug。有關專家認為：這個Bug輕則導致程式凍結，重則引發系統崩潰。美國英特爾公司已承認存在該Bug，並做了修復。
由於梅森素數的探究需要多種學科和技術的支持，所以許多科學家認為：梅森素數的研究成果，在一定程度上反映了一個國家的科技水準。英國數學協會主席、《素數的音樂》一書作者馬科斯·索托伊甚至認為：梅森素數探究可以挑戰人類科技與智慧極限，其成果是一個國家科技創新能力的重要標誌之一。
由上可知，偶完美數與梅森素數是一對「黃金拍檔」。儘管我們現在還看不到偶完美數的實際用處，但它反映了自然數的某些基本規律。而與偶完美數有緊密關聯的梅森素數正以其獨特魅力、理論意義和應用價值，吸引著更多的有志者去尋找和研究。
文/謝麗（作者單位：義大利都靈大學數學與自然科學學院）
