「分形幾何」（fractal geometry）,也稱分形幾何學；它是一門以不規則幾何形態為研究對象的幾何學。相對於傳統幾何的研究對象為整數維數，如零維的點、一維的線、二維的面、三維的立體乃至四維的時空，分形幾何的研究對象為非負實數維數，如0.63、1.58、2.72等。因為它的研究對象普遍存在於自然界中，因此分形幾何又被稱為「大自然的幾何學」。正如中國著名學者周海中教授說的那樣：「分形幾何不僅展示了數學之美，也揭示了世界的本質，還改變了人們理解自然奧秘的方式。」

分形幾何藝術圖案（圖片源自網路）

1973年，美籍法國數學家、分形幾何學之父——伯努瓦·曼德爾布羅教授在法蘭西科學院講學期間，率先提出了分形幾何的整體思想，並認為分維是個可用於研究許多自然現象的有力工具。這位數學和計算機科學兼通的人物，對分形幾何產生了重大的推動作用。他在1975、1977和1982年先後用法文和英文出版了三本書，特別是《分形——形、機遇和維數》和《自然界中的分形幾何學》，開創了新的數學分支——分形幾何學。在此基礎上,形成了研究分形性質及其應用的科學,稱為分形理論(fractal theory)。

上世紀80年代初開始的「分形熱」經久不息。分形作為一種新的概念和方法，正在許多領域開展應用探索。美國著名學者約翰•惠勒曾經說過：「今後誰不熟悉分形，誰就不能被稱為科學上的文化人。」由此可見分形的重要性。分形幾何作為當今世界十分風靡和活躍的新理論、新學科，它的出現，使人們重新審視這個世界：世界是非線性的，分形無處不在。分形幾何不僅讓人們感悟到科學與藝術的融合，數學與藝術審美的統一，而且還有其深刻的科學方法論意義。

分形是客觀世界普遍存在的現象，為揭示事物本質提供了新的概念和方法；研究分形是探討複雜事物的客觀規律及其內在聯繫的需要，也是科學探索的必然。分形幾何具有廣闊的應用前景，許多學科領域都在開展對分形理論應用的探索和研究。根據分形的觀點，自然界中許多難以定量描述的、複雜的形狀、事件等都可從中找到自相似結構，並可用分形對其進行描述。例如自然界中的雲朵、山脈、海岸線、雪花結構、河流流域的形狀；動物中的血管、肺部和大腦的結構等都可觀察到分形這一現象；許多植物中也有分形結構。

植物中的分形圖案（圖片源自網路）

分形幾何在數學、物理學、生物學、經濟學等許多科學領域中都得到了廣泛的應用，甚至對流行文化領域也產生了重要影響。例如在1970年代後期曼德爾布羅集合成為一種文化符號，被大量印製在T恤、棒球帽和帆布包上。今天，人們可以在網路上，瀏覽與欣賞各種不同風格且優美奇妙的分形作品，這類作品一般是運用迭代法並通過計算機處理才能表現出來的；有的針對科學研究中要表達的一些特別的對象，有的則完全是藝術。美妙神奇的分形圖畫，有時令人心曠神怡，有時又令人眼花繚亂。

分形幾何使我們看到從《星際迷航》《星球大戰》直到《指環王》《阿凡達》《讓子彈飛》等影片中的一幕幕激動人心的特效場景，把手機天線縮小到能夠藏進機身，使飛機儀錶板設計得更加一目了然，讓屋內裝修設計得更加舒適美觀......順帶一提，英國的數學「極客」丹尼爾·懷特利用特定的數學方程式，經過反復運用迭代算法，最終創作出一組令人歎為觀止的三維分形結構圖案；這組圖案被著名雜誌——《自然》（Nature）評為「2009年度十大科學圖片」之一。

三維分形結構圖案（圖片源自網路）

分形幾何為我們提供了一種發現結構和秩序的新方法，不僅標誌著人類歷史上又一次重大的科學進步，而且正在大大地改變人們觀察和認識客觀世界的思維方式。它既是非線性科學的前沿和重要分支，又是一門新興的橫斷學科。它揭示了介於整體與部分、有序與無序、複雜與簡單之間的新形態、新秩序。毫無疑問，分形幾何的應用將會越來越廣泛。

文/劉嘉良(作者單位：法國索邦大學理學院)