圓規和直尺是非常重要的作圖工具，僅使用無刻度的直尺和圓規作圖的方法叫尺規作圖。尺規作圖來源於古希臘的數學課題，利用尺規作圖方法可以作出很多基本圖形，但卻不能解決所有問題。被稱為「古希臘三大幾何問題」的三等分角問題、倍立方問題、化圓為方問題，便無法用尺規作圖的方法輕鬆解決。

取一個任意角，作出其三等分線，即為三等分角問題。在尺規作圖中，將任意角二等分、四等分或八等分是容易解決的。畫一個任意角，以頂點O為圓心，取任意長度為半徑畫弧，任意角的兩條邊與弧相交于A、B兩點。再分別以A、B兩點為圓心，取相同且大於A、B間距一半的長度為半徑畫弧,兩段弧相交于點C。連接O、C兩點，直線OC即把這個任意角分成了二等分，如此反復下去即可得到四等分、八等分、十六等分等。偶數等分易得，但三等分卻不可得。

取一個任意大小的立方體,作出體積是它兩倍的立方體，即為倍立方問題。取一個任意大小的圓，作出面積和它相等的一個正方形，即為化圓為方問題。解析幾何的出現，為數學家提供了新的研究方法，最終證明瞭這三個幾何問題只利用尺規作圖不可解。

坐標計算的帶入，讓幾何問題轉變成為代數問題。直線可視為一次方程，圓相當於二次方程，尺規作圖也就可歸納為一個二次方程組。數學家在對代數方程和抽象代數進行一系列研究後發現，從單位長度出發，尺規作圖可以作出的長度,恰好是自然數通過有限次四則運算和開平方能得到的所有數。

在三等分角問題中，若尺規作圖時假設給定了一個單位長度,那麼作出任意一個確定的角，就相當于作出了這個角的正弦值。比如，通過尺規作圖可作出的角，是因角的正弦值可通過有限次四則運算和開平方得到。而角——也就是角的三等分角，正弦值卻無法通過有限次四則運算開平方得到，也就是說無法只用尺規作出角的三等分。由此可知，三等分角問題不可解。

在倍立方問題中，假設將這個任意立方體的棱長作為單位長度,那麼體積是它兩倍的立方體的棱長為，此數不能通過有限次四則運算和開平方得到。由此可知，倍立方問題不可解。

在化圓為方問題中，假設任意圓的半徑為1個單位長度,其面積為，那麼面積相同的圓的邊長即為。德國數學家林德曼早在1882年就證明瞭π是一個超越數。所謂超越數是指不滿足係數不全為零的整係數多項式方程的數，也就是說超越數不能通過有限次四則運算和開平方得到。由此可知，化圓為方問題也不可解。

然而人們在研究這些問題時發現，只要更改了古希臘尺規作圖的一點條件，這三大問題就不那麼困難了。阿基米德曾在直尺上做了一個記號，使得直尺實際具備了刻度功能，解決了三等分角的問題。

即使這三大問題被代數證明僅用尺規作圖不可能解決，但是這並不妨礙我們去嘗試研究。在研究三大幾何問題的過程中，數學家開創了對圓錐曲線的研究、發現了尺規作圖的判別準則等，這些問題要比三大幾何難題本身更有意義。

本文由中國人民大學附屬中學第二分校一級教師秦薇進行科學性把關。

本作品為「科普中國-科學原理一點通」原創，轉載時務請註明出處。作者： 尹佳