數學模型是針對現實世界的特定對象，為了一定目的，進行必要的簡化和假設，運用數學符號、數學公式、程式、圖形等，概括表達問題的數量關係和空間形式的一種工具。人們可根據實際問題來建立數學模型，對它進行求解，然後根據結果去解決實際問題。我國著名學者周海中教授在1993年發表的《21世紀數學展望》一文中曾經指出：「數學模型在今後將顯得越來越重要。」後來事實證明瞭他的這一預見。

數學模型（圖片源自網路）

數學模型大致可分為兩類：正演數學模型和反演數學模型。正演數學模型是根據各變量之間的某種關係建立方程或方程組，通過對方程或方程組的求解得到數學模型；反演數學模型是根據實際數據，通過某種方法尋求能符合或基本符合這些實際數據的某些數學表達式，以此來建立數學模型。數學建模的一般過程為模型準備、模型假設、模型建立、模型求解、模型分析、模型檢驗；而建模的求解可採用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數值計算等各種傳統的和近代的數學方法，特別是計算機技術。

數學模型以其清晰簡捷、易於操作的數學表達式，可明確表達事物發展過程中各變量之間的關係。它所表達的內容可以是定量的，也可以是定性的，但必須以定量的方式體現出來。它實際上是人們對現實世界的一種模擬或反映形式，因此與現實世界的原型有一定的「相似性」，抓住與原型相似的數學表達式或數學理論就是建立數學模型的關鍵性技巧。數學建模是溝通擺在面前的實際問題與數學工具之間聯繫的一座必不可少的橋梁。數學模型當前已廣泛應用於自然科學和社會科學的各個領域，併發揮著十分重要的作用。

微生物菌群（圖片源自網路）

例如中國科學院昆明動物研究所生物學家馬占山研究員最近基於一個用於描述生物多樣性時空分布的新數學模型，提出了一項預測估計潛在生物多樣性的方法。潛在生物多樣性也被稱為「暗」生物多樣性，其概念類似於物理學中「暗物質」，一般指局部群落中可能並不存在，但存在於特定生境的區域物種庫中的物種。該數學模型有效地描述了不同時空菌群多樣性的三維動態變化。而室內菌群的研究是目前建築學和微生物交叉研究領域的重要熱點課題；許多科學家已經開始探索室內環境微生物菌群動態對於居民健康的影響。

時空旅行（圖片源自網路）

又如加拿大不列顛哥倫比亞大學物理學家本·蒂皮特博士與美國馬里蘭大學物理學家大衛·臧博士前不久創建了一個名為TARDIS的數學模型，以證明時空旅行是可行的。他們解釋稱，「我們的時空旅行模型通過彎曲時空將時間形成閉環，而不再是一條直線。」他們還聲稱，TARDIS是一種時空幾何「氣泡」，相應的時空旅行速度要快于光速。不過，蒂皮特博士表示：「雖然時空旅行在數學模型上是可行的，但由於目前沒有相關的材料和方式來壓縮時空，因此我們還無法建立一個時空機器。」

新冠病毒（圖片源自網路）

再如世界頂尖科學家協會副主席、2013年諾貝爾化學獎得主、美國史丹佛大學結構生物學家邁克爾·萊維特教授領銜的研究團隊經過5個月對全球3546個不同國家地區的疫情數據追蹤，最近提出一個全新的數學模型，用於預測每個地方新冠肺炎(COVID-19)疫情何時結束，以及確診人數和死亡人數。他們認為，如果能夠提前預測可能會造成的病例數和死亡率，那麼對於決策者在制定政策以控制病原體和優化醫療資源分配時都會有非常重要的意義。

Logistic模型（圖片源自網路）

由於數學模型有著非常重要的作用，它越來越受到人們的關注和重視。就連我國今年高考數學試題也出現了數學模型的應用例子,如Ⅰ卷（供山東省使用）第6題，基於新冠肺炎疫情初始階段累計感染病例數的數學模型的研究成果，考查了相關的數學知識和從資料中提取資訊的能力，突出數學和數學模型的應用；全國Ⅲ卷文、理科第4題以新冠肺炎疫情傳播的動態研究為背景，選擇適合學生知識水準的Logistic模型作為試題命制的基礎，考查學生對指數函數基本知識的理解和掌握，以及使用數學模型解決實際問題的能力。

文/錢芳（作者單位：蘇州大學數學科學學院）